根轴训练题11-2016西部P2

老题重做, 祝同学们今年地区赛考试顺利.

题目标签: 边等类- 相交两圆+共圆-2016西部P2

知识储备: 基本定理

(为了避免影响思路, 知识储备处写的基本定理, 其中基本定理包括: Menelaus, Ceva, Simson线, Pascal, Pappus, Ptolemy, Stewart, 九点圆, 蝴蝶定理, 鸡爪定理等)

题目难度: 高联1-2

题目如下:

圆与圆交于, 两点, 为两圆一条公切线, 过点, 的圆分别与两圆交于, , 求证: .

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分析: 其实本题自然的想法是利用三个圆的根心, 然后导比例即可, 当然这也是答案的做法. 还有一种位似的观点, 给出证法二(这个观点在前面做YMO的几何时用过).

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证法一: 蒙日定理: , , 交于一点,

则,

故,

同理

而,

注意到穿过中点,

故, 故

证毕!

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证法二:

设为两圆外位似中心, 为位似比

先证明三点共线;

与圆交于点, 与圆交于,

则

故四点共圆, 即与原题中定义相同.

设为位似对应点, 则

故证毕!

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